Calcular coordenadas de un vector respecto a una base

Calcular coordenadas de un vector respecto a una base

Encuentra el vector de coordenadas de a relativo a la base s = {a 1, a 2, a 3, a 4 }.

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En álgebra lineal, un vector de coordenadas es una representación de un vector como una lista ordenada de números que describe el vector en términos de una base ordenada particular[1] Las coordenadas siempre se especifican en relación con una base ordenada. Las bases y sus representaciones de coordenadas asociadas permiten realizar espacios vectoriales y transformaciones lineales de forma concreta como vectores columna, vectores fila y matrices, por lo que son útiles en los cálculos.
Esto también se llama la representación de v con respecto a B, o la representación B de v. Los α-s se llaman las coordenadas de v. El orden de la base se vuelve importante aquí, ya que determina el orden en que los coeficientes se enumeran en el vector de coordenadas.

Calculadora de matrices de coordenadas

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En álgebra lineal, un vector de coordenadas es una representación de un vector como una lista ordenada de números que describe el vector en términos de una base ordenada particular[1] Las coordenadas siempre se especifican en relación con una base ordenada. Las bases y sus representaciones de coordenadas asociadas permiten realizar espacios vectoriales y transformaciones lineales de forma concreta como vectores columna, vectores fila y matrices, por lo que son útiles en los cálculos.
Esto también se llama la representación de v con respecto a B, o la representación B de v. Los α-s se llaman las coordenadas de v. El orden de la base se vuelve importante aquí, ya que determina el orden en que los coeficientes se enumeran en el vector de coordenadas.

Hallar el vector de coordenadas de w respecto a la base

En matemáticas, un conjunto B de vectores en un espacio vectorial V se llama base si cada elemento de V puede escribirse de forma única como una combinación lineal finita de elementos de B. Los coeficientes de esta combinación lineal se denominan componentes o coordenadas del vector respecto a B. Los elementos de una base se llaman vectores base.
Equivalentemente, un conjunto B es una base si sus elementos son linealmente independientes y cada elemento de V es una combinación lineal de elementos de B.[1] En otras palabras, una base es un conjunto linealmente independiente.
Una base B de un espacio vectorial V sobre un campo F (como los números reales R o los números complejos C) es un subconjunto linealmente independiente de V que abarca V. Esto significa que un subconjunto B de V es una base si satisface las dos condiciones siguientes:
A menudo es conveniente o incluso necesario tener un ordenamiento de los vectores base, por ejemplo, cuando se discute la orientación, o cuando se consideran los coeficientes escalares de un vector con respecto a una base sin referirse explícitamente a los elementos de la base. En este caso, la ordenación es necesaria para asociar cada coeficiente al elemento de base correspondiente. Esta ordenación puede hacerse mediante la numeración de los elementos de la base. Para enfatizar que se ha elegido un orden, se habla de una base ordenada, que por tanto no es simplemente un conjunto no estructurado, sino una secuencia, una familia indexada, o algo similar; véase § Bases ordenadas y coordenadas más adelante.

Cambio de matriz de coordenadas

Intento de solución: Buscamos escalares $\lambda_i$ tales que \begin{align*} x+ x^3 + x^4 = \lambda_1 (1) + \lambda_2 (1+x) + \lambda_3 (1+2x+x^2) + \lambda_4 (1+3x + 3x^2 + x^3) + \lambda_5 (1+4x+6x^2 +4x^3 + x^4) end{align*} donde he expandido los vectores base. Comprobando los coeficientes correspondientes, esto da lugar al siguiente sistema de ecuaciones: \cegin{align*} \begin{cases} \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 + \lambda_5 &= 0 \lambda_2 + 2 \lambda_3 + 3\lambda_4 + 4 \lambda_5 &= 1 \\N – 3 \N – 4 + 6 \N – 5 &= 0 \N – 4 + 4 \N – 5 &= 1 \N – 5 &= 1 \N – fin {cas} \N – fin{align*} Puse esto en una matriz aumentada y la reduje en filas:
\nd{align*} Luego con la sustitución hacia atrás encontré que \begin{align*} \N – Comienzo. \lambda_5 &= 1 \lambda_4 &= -3 \lambda_3 &= 3 \lambda_2 &= 0 \lambda_1 &= -7 \end{cases} |align*} Pero cuando introduzco esto en la ecuación anterior, no me da el vector correcto. ¿Puede alguien decirme en qué me he equivocado, por favor?

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