Calcular raices complejas

Calcular raices complejas

Calculadora de raíces de ecuaciones complejas

Este es un post en tres partes. La primera parte fue escrita por el usuario Did; proporciona una fórmula y algunos breves comentarios sobre ella. La segunda parte fue escrita por el usuario Hans Lundmark; proporciona una forma geométrica de entender la fórmula. La tercera parte fue escrita por el usuario t.b.; proporciona algunas imágenes explicativas y algunos breves comentarios sobre ellas.
Nota: La construcción de las raíces cuadradas es geométricamente exacta. Es decir, se construyeron utilizando únicamente regla y compás. He decidido ocultar la construcción, ya que parece más bien ofuscar la ilustración prevista que añadirla. No obstante, te sugiero que te tomes un momento y pienses en cómo conseguirías la construcción geométrica.

Raíces de números complejos calculadora

He podido comprobar que esto da como resultado $(x-3)(x+\frac{1}{2})(8x^{2}+2)$. Sin embargo, incluso con la prueba de las raíces racionales y la división sintética, la parte de “adivinar” el proceso me resulta poco atractiva.
El método matricial no simplifica el asunto en absoluto (a menos que tengas un bloqueo mental sobre los polinomios pero te sientas realmente cómodo con las matrices; o a menos que tengas algún método realmente genial para encontrar los valores propios que no dependa del polinomio característico).
Añadido: Como menciona Andrés y apunta Qiaochu, es posible que el cambio de perspectiva te permita aplicar más fácilmente ciertos algoritmos o teoremas acudiendo a la matriz en lugar de tratar con el polinomio directamente. Pero lo que quiero decir es que el método matricial sólo te permite un cambio de perspectiva y no una simplificación o un cambio esencial en el problema. Cuando todo está dicho y hecho, se sigue tratando con el mismo polinomio.

Completar el cuadrado

Los números complejos pueden escribirse en la forma polar z=reiθ,{\displaystyle z=re^{i\theta },} donde r{displaystyle r} es la magnitud del número complejo y θ{displaystyle \theta } es el argumento, o fase. Resulta muy fácil derivar una extensión de la fórmula de De Moivre en coordenadas polares zn=rneinθ{\displaystyle z^{n}=r^{n}e^{in\theta }} utilizando la fórmula de Euler, ya que es mucho más fácil trabajar con exponenciales que con funciones trigonométricas.
También podemos extender esto a la búsqueda de las raíces del número complejo z.{\a6} Sea ζ=z1/m{\displaystyle \zeta =z^{1/m}} una raíz m de z.{\displaystyle z.} Entonces podemos ver que ζm=z{\displaystyle \zeta ^{m}=z} y ζ=r1/meiθ/m.{\displaystyle \zeta =r^{1/m}e^{i\theta /m}.}
En este artículo, trabajaremos con el caso especial en el que ζm=1.{\displaystyle \zeta ^{m}=1.} En otras palabras, vamos a encontrar números que son iguales a 1 cuando se eleva a la mésima potencia. Estos se llaman raíces de la unidad.

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