Calcular vectores propios

Calcular vectores propios

Encuentra los valores y vectores propios de la matriz

En álgebra lineal, un vector propio (/ˈaɪɡənˌvɛktər/) o vector característico de una transformación lineal es un vector no nulo que cambia como máximo por un factor escalar cuando se le aplica esa transformación lineal. El valor propio correspondiente, a menudo denotado por
Geométricamente, un vector propio, correspondiente a un valor propio real no nulo, apunta en una dirección en la que se estira por la transformación y el valor propio es el factor por el que se estira. Si el valor propio es negativo, la dirección se invierte[2]. En términos generales, en un espacio vectorial multidimensional, el vector propio no se rota.
Si T es una transformación lineal de un espacio vectorial V sobre un campo F en sí mismo y v es un vector no nulo en V, entonces v es un vector propio de T si T(v) es un múltiplo escalar de v. Esto se puede escribir como
Existe una correspondencia directa entre las matrices cuadradas de n por n y las transformaciones lineales de un espacio vectorial de n dimensiones en sí mismo, dada cualquier base del espacio vectorial. Por lo tanto, en un espacio vectorial de dimensiones finitas, es equivalente definir los valores propios y los vectores propios utilizando el lenguaje de las matrices o el lenguaje de las transformaciones lineales[3][4].

Problemas y soluciones de valores propios y vectores propios

Idealmente, la descomposición de valores propios satisface la relación. Dado que eig realiza la descomposición utilizando cálculos de punto flotante, entonces A*V puede, en el mejor de los casos, acercarse a V*D. En otras palabras, A*V – V*D se aproxima, pero no es exactamente 0.Eigenvalores y eigenvectores ordenados Open Live ScriptPor defecto, eig no siempre devuelve los eigenvalores y eigenvectores ordenados. Utilice la función de ordenación para poner los valores propios en orden ascendente y reordenar los correspondientes vectores propios.Calcule los valores propios y los vectores propios de una matriz cuadrada mágica de 5 por 5. A = magic(5)A = 5×5
Los valores propios de A están en la diagonal de D. Sin embargo, los valores propios no están ordenados.Extraiga los valores propios de la diagonal de D utilizando diag(D), y luego ordene el vector resultante en orden ascendente. La segunda salida de sort devuelve un vector de permutación de índices.[d,ind] = sort(diag(D))d = 5×1
Utiliza ind para reordenar los elementos diagonales de D. Como los valores propios de D corresponden a los vectores propios de las columnas de V, también debes reordenar las columnas de V utilizando los mismos índices.Ds = D(ind,ind)Ds = 5×5

Calculadora de vectores propios 2×2

En el análisis numérico, uno de los problemas más importantes es el diseño de algoritmos eficientes y estables para encontrar los valores propios de una matriz. Estos algoritmos de valores propios también pueden encontrar vectores propios.
donde v es un vector columna n × 1 no nulo, I es la matriz identidad n × n, k es un número entero positivo, y se permite que tanto λ como v sean complejos aunque A sea real. Cuando k = 1, el vector se llama simplemente un vector propio, y el par se llama un par propio. En este caso, Av = λv. Cualquier valor propio λ de A tiene asociados eigenvectores ordinarios[nota 1], pues si k es el menor número entero tal que (A – λI)k v = 0 para un eigenvector generalizado v, entonces (A – λI)k-1 v es un eigenvector ordinario. El valor k puede tomarse siempre como menor o igual que n. En particular, (A – λI)n v = 0 para todos los vectores propios generalizados v asociados a λ.
Para cada valor propio λ de A, el núcleo ker(A – λI) está formado por todos los vectores propios asociados a λ (junto con 0), y se denomina espacio propio de λ, mientras que el espacio vectorial ker((A – λI)n) está formado por todos los vectores propios generalizados, y se denomina espacio propio generalizado. La multiplicidad geométrica de λ es la dimensión de su eigespacio. La multiplicidad algebraica de λ es la dimensión de su eigespacio generalizado. Esta última terminología se justifica por la ecuación

Calculadora de vectores propios generalizados

Entendí la matemática de la misma. Si me piden que encuentre valores propios, etc. Lo haré correctamente como una máquina. Pero no lo entendí. No entendí el propósito de la misma. No entendí la sensación de ello.
Imagina una gran cena familiar en la que todo el mundo empieza a preguntarte por el PCA. Primero se lo explicas a tu bisabuela; luego a tu abuela; después a tu madre; luego a tu cónyuge; finalmente, a tu hija (que es matemática). Cada vez la siguiente persona es menos lego en la materia. La conversación podría ser la siguiente
Usted: Ah, es sólo un método para resumir algunos datos. Mira, tenemos algunas botellas de vino aquí sobre la mesa. Podemos describir cada vino por su color, por su fuerza, por su edad, etc. (véase esta bonita visualización de las propiedades del vino tomada de aquí). Podemos componer toda una lista de características diferentes de cada vino de nuestra bodega. Pero muchas de ellas medirán propiedades relacionadas y, por tanto, serán redundantes. Si es así, ¡deberíamos ser capaces de resumir cada vino con menos características! Esto es lo que hace el PCA.

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